Τα «τι» και «γιατί» της γραμμικής άλγεβρας. Ιστορική αναδρομή (από τα συστήματα στα διανύσματα, τις μήτρες και τους τανυστές). Παραδείγματα εφαρμογών. Διανύσματα και γραμμικοί συνδυασμοί. Γραμμική ανεξαρτησία. Βασικά προβλήματα της γραμμικής άλγεβρας ως άμεσα ή αντίστροφα προβλήματα γραμμικών συνδυασμών. Κανόνες για βασικές πράξεις με μητρώα και διανύσματα. Επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Γεωμετρική ερμηνεία κατά γραμμές, κατά στήλες και μία εισαγωγή στην επαναληπτική επίλυση. Η έννοια της απαλοιφής, aναπαράσταση απαλοιφής με μητρώα, αναστροφή και μεταθέσεις. Παραγοντοποίηση LU. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Οι 4 υπόχωροι που ορίζονται από ένα μητρώο: Μηδενόχωρος και επίλυση ομογενούς γραμμικού συστήματος. Τάξη μητρώου. Κλιμακωτή μορφή μητρώου και αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή. Διάσταση και βάσεις υποχώρου. Παραγοντοποίηση τάξης μητρώου. Ορθογωνιότητα των τεσσάρων υποχώρων. Πράξεις μεταξύ υποχώρων. Ορθογώνιο συμπλήρωμα. Προβολή και ορθογώνια προβολή. Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων. Ορθογώνια και ορθοκανονικά μητρώα. Ορθογώνιες βάσεις και διαδικασία Gram-Schmidt. Ορίζουσες: Ιδιότητες, μεταθέσεις και αλγεβρικά συμπληρώματα. Τρόποι υπολογισμού ορίζουσας. Η γεωμετρική σημασία της ορίζουσας. Κανόνας Cramer. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα μητρώου. Διαγωνιοποίηση και διαγωνιοποιησιμότητα μητρώου. Ομοιότητα μητρώων. Συμμετρικά και ερμιτιανά μητρώα και ιδιότητές τους. Θετικά ορισμένα μητρώα. Φασματικό ανάπτυγμα μητρώου. Παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών (SVD): Ιδιάζουσες τιμές, αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα μητρώου, ιδιότητές τους και χρήση τους στη διαστατική μείωση και εφαρμογές. Ψευδοαντίστροφος μητρώου. Οι βασικές παραγοντοποιήσεις μητρώων. Μη διαγωνιοποιήσιμα μητρώα και μορφή Jordan. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. Μητρώο γραμμικού μετασχηματισμού. Αλλαγή βάσης.
Βασικές πηγές: Διαφάνειες. G. Strang, «Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα», εκδ. Παν. Πατρών, 2006. G. Strang, «Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές», Παν. Εκδ. Κρήτης, 2009. Γ. Δονάτος και Μ. Αδάμ, «Γραμμική άλγεβρα», εκδ. Δαρδανός, 2008.
