Σε όλες τις Επιστήμες και στην Τεχνολογία, επιβάλλεται η χρήση υπολογιστικών μεθόδων για να επιλύσουμε τα υποκείμενα μαθηματικά μοντέλα: 1) γιατί η επίλυσή τους με αναλυτικούς τύπους είναι συνήθως ανέφικτη. 2) Γιατί ακόμα και με τύπους ή έστω τις αντίστοιχες μαθηματικές προσεγγίσεις, είναι απαγορευτικό να αντεπεξέλθουμε «με το χέρι» στην επίλυση των υποκείμενων, πολύπλοκων μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν τον κόσμο (τη φύση, την οικονομία, την κοινωνία, κ.λπ.). Επιπλέον, είτε ενδιαφερόμαστε για απλούς μαθηματικούς υπολογισμούς που γίνονται σε λογιστικά φύλλα είτε για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας που εκτελούνται σε υπερυπολογιστές πρέπει να αντιμετωπίσουμε βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το ότι η αριθμητική στον υπολογιστή προβλήματα που οφείλονται στο α) οι αριθμοί αναπαρίστανται με πεπερασμένη ακρίβεια και β) δεν υφίσταται η έννοια του απειροστικού και της συνέχειας. Κατά συνέπεια, σχεδόν κάθε αριθμητική πράξη που εκτελείται και σχεδόν κάθε παραγώγιση και ολοκλήρωση, δεν είναι μαθηματικά ακριβής. Επιπλέον, διαδικασίες υπολογισμών που είναι μαθηματικά ισοδύναμες, δεν είναι υπολογιστικά ισοδύναμες, δηλ. μπορεί να υπολογίζονται με διαφορετική ακρίβεια και διαφορετικό κόστος. Τα παραπάνω ζητήματα επιτείνονται όταν αναφερόμαστε σε
Βασικός στόχος της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση αυτοματοποιημένων και διαδικασιών με τις οποίες να υπολογίζονται πρακτικά αξιόπιστες προσεγγίσεις των λύσεων των προβλημάτων εκείνων που για τους παραπάνω λόγους δεν μπορούν ή δεν είναι πρακτικό να υπολογιστούν ακριβώς με το χέρι. Επειδή οι επιλογές δεν είναι ισοδύναμες, η Αριθμητική Ανάλυση μελετά και εντοπίζει τις διαφορές και αναδεικνύει τα χαρακτηριστικά τους ώστε να βοηθά τον χρήστη στην επιλογή του τρόπου επίλυσης και στην εξαγωγή συμπερασμάτων όσον αφορά στην αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Στόχος του συγκεκριμένου μαθήματος είναι επιπλέον ο σχεδιασμός και υλοποίηση λογισμικού από υπολογιστικά εργαλεία (μεθόδους, βιβλιοθήκες και περιβάλλοντα) για τους χρήστες.
Τα «τι και γιατί» της Αριθμητικής Ανάλυσης. Βασικές αρχές και διαδικασίες. Ζητήματα αριθμητικής πεπερασμένης ακρίβειας: Αναπαράσταση αριθμών με πεπερασμένη ακρίβεια, αριθμητική κινητής υποδιαστολής και πρότυπο IEEE. Είδη σφαλμάτων στις αριθμητικές διαδικασίες. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων μίας μεταβλητής: Θεώρημα Bolzano. Μέθοδος διχοτόμησης. Σταθερό σημείο συνάρτησης και επαναλήψεις σταθερού σημείου. Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Μέθοδος Newton, μέθοδος τέμνουσας, μέθοδος regular falsi. Υβριδικές μέθοδοι και αλγόριθμος zeroin. Εργαλεία γραμμικής άλγεβρας: Ανασκόπηση εννοιών, νόρμες, ειδικές κατηγορίες μητρώων, ιδιάζουσες τιμές και το SVD. Άμεσες μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων: Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί Gauss, Householder και Givens. Παραγοντοποιήσεις LU, Cholesky. Η ανάγκη για οδήγηση και τα είδη της. Νόρμες μητρώων. Ευστάθεια αλγορίθμου και κατάσταση προβλήματος, δείκτες κατάστασης. Λογισμικό MATLAB. Εκτίμηση υπολογιστικών σφαλμάτων. Επίλυση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων μέσω QR. Προσέγγιση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Εγκλεισμός ιδιοτιμών και θεώρημα Gerschgorin. Επαναληπτική μέθοδος δύναμης, πηλίκο Rayleigh, αντίστροφη μέθοδος δύναμης και παραλλαγές. Στοιχεία επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων: Βασικές διασπάσεις και οι κλασικές μέθοδοιRichardson, Jacobi, Gauss-Seidel και SOR. Αναγωγήσιμα μητρώα. Συνθήκες σύγκλισης επαναληπτικών μεθόδων. Μέθοδοι καθόδου, εισαγωγή στις μεθόδους συζυγών κατευθύνσεων και μεθόδους υποχώρων, μέθοδος συζυγών κλίσεων (CG). Παρεμβολή και προσέγγιση συναρτήσεων μίας μεταβλητής: Από τις απειροσειρές Taylor στο θεώρημα Weierstrass και τα πολυώνυμα Bernstein. Τα πολυώνυμα ως βασικά εργαλεία, πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Αναπαραστάσεις Lagrange, Newton, Hermite και διαιρεμένες διαφορές. Ανάλυση σφάλματος παρεμβολής. Το φαινόμενο Runge. Σημεία Chebyshev και βαρυκεντρική αναπαράσταση. Τμηματικά πολυωνυμική περεμβολή και splines. Ενδεικτικό λογισμικό MATLAΒ. Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων: Μέθοδοι Newton, inexact Newton, γενικεύσεις των Jacobi και Gauss-Seidel για μη γραμμικά προβλήματα. Υπολογιστικά θέματα και εμφωλευμένες επαναλήψεις. Αριθμητική παραγώγιση και ολοκλήρωση: Εμπρός διαφορές, πίσω διαφορες και κεντρισμένες διαφορές για προσέγγιση παραγώγων. Παρεκβολή Richardson. Κανόνες μέσου σημείου, τραπεζίου, Simpson και σύνθετες εκδοχές τους. Προσαρμοστικές μέθοδοι. Σύντομη αναφορά στις μεθόδους Gauss. Σύντομη αναφορά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Παραδείγματα λογισμικού από το MATLAB.
Βασικές αναφορές: Διαφάνειες μαθήματος. U. Ascher and C. Greif, Εισαγωγή στις Αριθμητικές Μεθόδους, Κλειδάριθμος, 2023. A. Quarteroni και F. Saleri, “Scientific Computing with MATLAB and Octave” (διαθέσιμο ηλεκτρονικά), Springer, 4th edition, 2014 (electronic resource). Γ. Ακρίβης και Β. Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, ΠΕΚ, 2017.
Εκτενέστερη παρουσίαση και βασικές αναφορές στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο e-class.
